Identyczność

Należy odróżnić dwa typy identyczności: identyczność jakościową ("takożsamość") i identyczność numeryczną ("tożsamość"). Identyczność jakościową można ogólnie scharakteryzować jako posiadanie tych samych cech (dokładniej: x jest identyczne jakościowo z y zawsze  i tylko wtedy, gdy dla każdej cechy P, x posiada P zawsze i tylko wtedy, gdy y posiada P). Natomiast identyczność numeryczna to bycie jednym i tym samym przedmiotem. Okazuje się jednak, że sformułowanie precyzyjnej definicji identyczności numerycznej napotyka na trudności. Można próbować scharakteryzować identyczność numeryczną jako relację, która zachodzi między każdym przedmiotem a nim samym i tylko nim. Jednakże definicja ta tylko pozornie jest poprawna. Wyrażenie "x jest tożsame tylko z x" musi być objaśnione np. w następujący sposób: "jeśli y jest różne od x, to x nie może być tożsame z y". Ale bycie różnym to nic innego jak niebycie tożsamym, a zatem warunek nasz sprowadza się do tautologii "jeśli x nie jest tożsame z y, to x nie jest tożsame z y". Zatem początkowa definicja została sprowadzona do warunku, iż tożsamość to relacja, która zachodzi między każdym przedmiotem a nim samym, a to jest warunek za słaby.

Równie niezadowalająca jest następująca definicja identyczności numerycznej: x jest tożsame z y gdy jest dokładnie jeden przedmiot, który jest zarazem x-em i y-grekiem. Wyrażenie "dokładnie jeden przedmiot" wymaga do swojej definicji odwołania się do identyczności numerycznej (ściślej: "jest dokładnie jeden przedmiot, który ma cechę P" interpretujemy w logice jako "dla pewnego x, x jest P i dla każdego y, jeżeli y jest P, to y jest tożsame z x").

Zwyczajowo na relację tożsamości nakłada się następujące warunki:

1. Zwrotność. Dla każdego x, x jest tożsame z x
2. Symetryczność. Dla każdego x i y, jeżeli x jest tożsame z y, to y jest tożsame z x
3. Przechodniość. Dla kazdego x, y, z, jeżeli x jest tożsame z y i y jest tożsame z z, to x jest tożsame z z.

Jednakże wiele relacji nie będących tożsamością spełnia warunki 1-3 (np. relacja bycia przedmiotem równobarwnym). Warunki 1-3 definiują klasę tzw. relacji równoważnościowych. Choć identyczność numeryczna jest relacją równoważnościową, nie każda relacja równoważnościowa jest tożsamością. Warto jednak zauważyć, że każda relacja równoważnościowa może być zinterpretowana jako relacja tożsamości na odpowiednim zbiorze przedmiotów. Na przykład relacja bycia równobarwnym na zbiorze przedmiotów barwnych nie jest tożsamością, ale jeśli wprowadzimy abstrakcyjne pojęcie "koloru" jako własności wspólnej wszystkim przedmiotom równobarwnym (jest to przykład definiowania pojęć przez abstrakcję), to równobarwność stanie się tożsamością na zbiorze wszystkich kolorów .

Aby uzupełnić definicję tożsamości opartą na warunkach 1-3, należy wprowadzić jeszcze jeden warunek:

4. Tożsamość jest najmniejszą relacją spełniajacą warunki 1-3.

Przez najmniejszą relację rozumiemy taką relację I, która jest zawarta w każdej relacji spełniającej 1-3, tj. jeśli R spełnia warunki 1-3 i I zachodzi między x a y, to R zachodzi między x a y.