Dwa pojęcia zbiorów

Fundamentalnym rodzajem przedmiotów matematycznych są zbiory, gdyż zasadniczo wszystkie inne rodzaje przedmiotów matematycznych dadzą się do nich definicyjnie sprowadzić. Pojęcie zbioru jest stosowane także poza matematyką, ale może ono mieć dwa różne znaczenia. W jednym znaczeniu zbiorem przedmiotów fizycznych rodzaju X jest (złożony) przedmiot fizyczny, którego częściami są wszystkie X-y. Taki sens terminu „zbiór” nazywa się mereologicznym (lub kolektywnym). Charakterystyczne dla pojęcia zbioru mereologicznego jest to, że zbiór jednoelementowy składający się z przedmiotu x jest tożsamy z tym przedmiotem. Nie istnieje mereologiczny zbiór pusty (zbiór składający się z niczego jest po prostu niczym). Dwa mereologiczne zbiory składające się z różnej liczby elementów mogą być tym samym zbiorem (np. zbiór dwóch atomów wodoru i zbiór czterech cząstek elementarnych składających się na owe atomy: dwóch protonów i dwóch elektronów). Inną cechą charakterystyczną zbiorów mereologicznych jest to, że jeśli jakiś przedmiot X jest elementem mereologicznego zbioru Z, to każda część X-a jest również elementem tego zbioru (relacja należenia do zbioru mereologicznego jest przechodnia).

Zbiory w ujęciu teoriomnogościowym mają inne własności niż zbiory mereologiczne. Mówiąc swobodnie, zbiory teoriomnogościowe odpowiadają pojęciom ogólnym (możemy np. porównać zbiór wszystkich ludzi i pojęcie człowieka). Wynika stąd od razu, że część danego elementu zbioru nie jest automatycznie elementem tego zbioru (część człowieka nie jest człowiekiem). Zbiór składający się z jednego przedmiotu jest zawsze różny od tego przedmiotu (tak jak przedmiot jest różny od pojęcia, które jest przez niego spełniane). Ponieważ są pojęcia puste, jest też zbiór pusty (nie zawierający żadnych elementów). Jeśli dwa zbiory teoriomnogościowe mają różną liczbę elementów, to na pewno są różne. Zbiór dwóch atomów wodoru jest numerycznie różny od zbioru dwóch protonów i dwóch elektronów. Ogólnie, zbiory spełniają ważną zasadę ekstensjonalności: zbiór X jest tożsamy ze zbiorem Y zawsze i tylko wtedy, gdy X i Y mają dokładnie te same elementy (dla każdego x, x należy do X zawsze i tylko wtedy, gdy x należy do Y). Konsekwencją tego faktu jest to, że istnieje dokładnie jeden zbiór pusty.

Pytaniem, które jest szczególnie istotne z ontologicznego punktu widzenia, jest pytanie o to, jakiego rodzaju przedmiotami są zbiory i czy mogą one być zaakceptowane przez nominalistę. Zbiory w sensie mereologicznym zasadniczo nie stanowią problemu dla nominalisty, gdyż są one po prostu materialnymi, czasoprzestrzennymi konglomeratami. Jedyną wątpliwość budzić może założenie istnienia całości mereologicznych złożonych z dowolnych kombinacji czasoprzestrzennie odseparowanych fragmentów świata fizycznego (nie wszyscy filozofowie podpisują się pod tzw. doktryną o arbitralnych nieodseparowanych częściach). Natomiast w wypadku zbiorów teoriomnogościowych powszechnie akceptowanym przekonaniem jest teza o ich abstrakcyjności. Wskazuje się m.in. na to, że ponieważ zbiór jednoelementowy (singleton) jest różny od swojego jedynego elementu, nie może być on przedmiotem czasoprzestrzennym. Również zbiór pusty trudno jest zinterpretować jako przedmiot istniejący w czasie i przestrzeni. Mimo to nominalista może zaakceptować pewną ograniczoną wersję teorii mnogości, w której mówi się tylko o zbiorach złożonych z przedmiotów konkretnych. Takie zbiory można określić terminem „klas”. Istotne jest to, że zdania zawierające odniesienie do klas można w większości wypadków przełożyć na zdania o samych elementach tych klas. Na przykład zdanie stwerdzające przynależność do danej klasy „x należy do klasy K” nominalista sparafrazuje jako „x jest K-iem”. Zdanie „Klasa A zawiera się w klasie B” przetłumaczymy na „Każdy A-k jest B-kiem”; zdanie „Klasa A jest rozłączna z klasą B” zastąpimy przez „Żaden A-k nie jest B-kiem” itd. Jednakże parafrazy takie nie są wykonalne w nieograniczonej teorii mnogości, w której klasy (zbiory pierwszego rzędu) traktuje się jako przedmioty, z których następnie można konstruować zbiory wyższych rzędów.

Wspomnieliśmy uprzednio, że większość pojęć matematycznych (a być może wszystkie) da się zinterpretować w języku teorii mnogości. Interesującym z ontologicznego punktu widzenia jest jednak fakt, że interpretacje takie nie są na ogół unikalne. Można to pokazać na przykładzie liczb naturalnych. Jednym ze sposobów ich teoriomnogościowej interpretacji jest następujące utożsamienie: 0 = Ø, 1 = {Ø}, 2 = {Ø, {Ø}}, 3 = {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} itd. Alternatywna intepretacja wygląda następująco: 0 = Ø, 1 = {Ø}, 2 = {{Ø}}, 3 = {{{Ø}}} itd. Obie definicje są akceptowalne, ale nie mogą być one równocześnie prawdziwe, gdyż prowadziłoby to do jaskrawych fałszów: {Ø, {Ø}} = {{Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}} = {{{Ø}}}. Kwestia tego, czy liczby są tożsame z tymi czy z innymi zbiorami wydaje się zasadniczo nierozstrzygalna. Niektórzy wyciągają stąd wniosek, że liczby oraz inne przedmioty matematyczne to struktury a nie pojedyncze indywidua. Istnieje struktura liczb naturalnych, której istotą jest relacja następnika: dla każdej liczby istnieje następująca bezpośrednio po niej liczba nietożsama z żadną uprzednią liczbą w sekwencji. To, co nazywamy liczbą, to po prostu miejsce w danej strukturze.